机器学习笔记

前言

章节目录

1. 朴素贝叶斯法的学习与分类

1. 基本方法

2. 后验概率最大化的含义

2. 朴素贝叶斯法的参数估计

1. 极大似然估计

2. 学习与分类算法

3. 贝叶斯估计

朴素贝叶斯法

参数数量

条件概率分布P(X=x|Y=c_k)有指数级数量的参数，其实际估计是不可行的。

算法推导

朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。

• 贝叶斯定理

• 特征条件独立假设

条件独立假设

求条件概率 \( P(Y|X) \)，其中 \( X \) 是一个集合 \( \{X_1, X_2, \dots, X_n\} \)，并且在给定 \( Y \) 的情况下，各个 \( X_i \) 之间满足条件独立假设：

1. 每一个\( X_i \)和其他的每个\( X_k \)是条件独立的

2. 每一个\( X_i \)和其他的每个\( X_k \)的子集是条件独立的

条件独立性假设是:

$$
\begin{align}
P(X=x|Y=c_k)&=P(X^{(1)},\dots,X^{(n)}|Y=c_k)\\
&=\prod^n_{j=1}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)
\end{align}
$$

辅助理解公式：

\begin{aligned}
P(X|Y)&=P(X_1,X_2|Y)\\
&=\color{red}P(X_1|X_2,Y)\color{black}P(X_2|Y)\\
&=\color{red}P(X_1|Y)\color{black}P(X_2|Y)
\end{aligned}

参数估计

极大似然估计

为了估计状态变量的条件分布，利用贝叶斯法则，有

$$
\underbrace{P(X|Y)}_{posterior}=\frac{\overbrace{P(Y|X)}^{likelihood}\overbrace{P(X)}^{prior}}{\underbrace{P(Y)}_{evidence}}=\frac{\overbrace{P(Y|X)}^{likelihood}\overbrace{P(X)}^{prior}}{\underbrace{\sum\limits_x P(Y|X)P(X)}_{evidence}}
$$

其中P(X|Y)为给定Y下X的后验概率(Posterior)，P(Y|X)称为似然(Likelyhood)，P(X)称为先验；

• 后验概率最大化的含义：朴素贝叶斯法将实例分到后验概率最大的类中， 这等价于期望风险最小化。

• 后验，观察到Y之后，对X的信念

贝叶斯估计

对于x的某个特征的取值没有在先验中出现的情况 ，如果用极大似然估计，这种情况的可能性就是0。但是出现这种情况的原因通常是因为数据集不能全覆盖样本空间，出现未知的情况处理的策略就是做平滑。

$$
P_{\lambda}(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{\sum\limits_{i=1}^NI(x_i^{j}=a_{jl},y_j=c_k)+\lambda}{\sum\limits_{i=1}^NI(y_j=c_k)+S_j\lambda}
$$

• 其中 \( \lambda \geqslant 0 \)：

• 当 \( \lambda = 0 \) 的时候，就是极大似然估计

• 当 \( \lambda = 1 \) 的时候，这个平滑方案叫做拉普拉斯平滑（Laplace Smoothing）。拉普拉斯平滑相当于给未知变量给定了先验概率。

总结

1. 朴素贝叶斯法是典型的生成学习方法。生成方法由训练数据学习联合概率分布$P(X,Y)$，然后求得后验概率分布$P(Y|X)$。具体来说，利用训练数据学习$P(X|Y)$和$P(Y)$的估计，得到联合概率分布$$P(X,Y)＝P(Y)P(X|Y)$$

   概率估计方法可以是极大似然估计或贝叶斯估计。

   
   

2. 朴素贝叶斯法的基本假设是条件独立性，$$\begin{aligned} P(X&=x | Y=c_{k} )=P\left(X^{(1)}=x^{(1)}, \cdots, X^{(n)}=x^{(n)} | Y=c_{k}\right) \\ &=\prod_{j=1}^{n} P\left(X^{(j)}=x^{(j)} | Y=c_{k}\right) \end{aligned}$$

   这是一个较强的假设。由于这一假设，模型包含的条件概率的数量大为减少，朴素贝叶斯法的学习与预测大为简化。因而朴素贝叶斯法高效，且易于实现。其缺点是分类的性能不一定很高。

   
   

3. 朴素贝叶斯法利用贝叶斯定理与学到的联合概率模型进行分类预测。

   $$P(Y | X)=\frac{P(X, Y)}{P(X)}=\frac{P(Y) P(X | Y)}{\sum_{Y} P(Y) P(X | Y)}$$

   将输入$x$分到后验概率最大的类$y$。

   $$y=\arg \max _{c_{k}} P\left(Y=c_{k}\right) \prod_{j=1}^{n} P\left(X_{j}=x^{(j)} | Y=c_{k}\right)$$

   后验概率最大等价于0-1损失函数时的期望风险最小化。

   
   

4. 模型：高斯模型、多项式模型、伯努利模型

Python代码实现

使用鸢尾花数据，检测数据是否加载成功并且打印第一条数据进行确认：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split

from collections import Counter
import math

def create_data():
    iris = load_iris()
    df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
    df['label'] = iris.target
    df.columns = [
        'sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label'
    ]
    data = np.array(df.iloc[:100, :])
    # print(data)
    return data[:, :-1], data[:, -1]
    
X, y = create_data()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3)

X_test[0], y_test[0] # (array([5.7, 2.6, 3.5, 1. ]), 1.0)

GaussianNB 高斯朴素贝叶斯

由于直接的朴素贝叶斯效果不是很好，这里增加这个高斯朴素概念：特征的可能性被假设为高斯

概率密度函数：

$$P(x_i | y_k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_{yk}}}exp(-\frac{(x_i-\mu_{yk})^2}{2\sigma^2_{yk}})$$

数学期望(mean)：$\mu$

方差：$\sigma^2=\frac{\sum(X-\mu)^2}{N}$

class NaiveBayes:
    def __init__(self):
        self.model = None

    # 数学期望
    @staticmethod
    def mean(X):
        return sum(X) / float(len(X))

    # 标准差（方差）
    def stdev(self, X):
        avg = self.mean(X)
        return math.sqrt(sum([pow(x - avg, 2) for x in X]) / float(len(X)))

    # 概率密度函数
    def gaussian_probability(self, x, mean, stdev):
        exponent = math.exp(-(math.pow(x - mean, 2) /
                              (2 * math.pow(stdev, 2))))
        return (1 / (math.sqrt(2 * math.pi) * stdev)) * exponent

    # 处理X_train
    def summarize(self, train_data):
        summaries = [(self.mean(i), self.stdev(i)) for i in zip(*train_data)]
        return summaries

    # 分类别求出数学期望和标准差
    def fit(self, X, y):
        labels = list(set(y))
        data = {label: [] for label in labels}
        for f, label in zip(X, y):
            data[label].append(f)
        self.model = {
            label: self.summarize(value)
            for label, value in data.items()
        }
        return 'gaussianNB train done!'

    # 计算概率
    def calculate_probabilities(self, input_data):
        # summaries:{0.0: [(5.0, 0.37),(3.42, 0.40)], 1.0: [(5.8, 0.449),(2.7, 0.27)]}
        # input_data:[1.1, 2.2]
        probabilities = {}
        for label, value in self.model.items():
            probabilities[label] = 1
            for i in range(len(value)):
                mean, stdev = value[i]
                probabilities[label] *= self.gaussian_probability(
                    input_data[i], mean, stdev)
        return probabilities

    # 类别
    def predict(self, X_test):
        # {0.0: 2.9680340789325763e-27, 1.0: 3.5749783019849535e-26}
        label = sorted(
            self.calculate_probabilities(X_test).items(),
            key=lambda x: x[-1])[-1][0]
        return label

    def score(self, X_test, y_test):
        right = 0
        for X, y in zip(X_test, y_test):
            label = self.predict(X)
            if label == y:
                right += 1

        return right / float(len(X_test))

model = NaiveBayes()
model.fit(X_train, y_train)

print(model.predict([4.4,  3.2,  1.3,  0.2]))
# 0.0

model.score(X_test, y_test)
# 1.0

实际上可以直接调用scikit-learn实现

from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
# from sklearn.naive_bayes import BernoulliNB, MultinomialNB # 伯努利模型和多项式模型
clf = GaussianNB()
clf.fit(X_train, y_train)

clf.score(X_test, y_test)
clf.predict([[4.4,  3.2,  1.3,  0.2]])

2024-08-23