《线性代数》学习笔记

前面介绍了向量与矩阵之间的乘法，这一节介绍两个矩阵之间的乘法。并讨论逆矩阵存在的条件。最后介绍求解逆矩阵的方法。

1.矩阵乘法

1.1 矩阵乘法最常见求解方式

首先来了解矩阵之间进行乘法运算时，是如何求解单个元素的呢？

$$      \begin{bmatrix} ? & ? \\ ? & ? \end{bmatrix}
       \begin{bmatrix} ? \\ ? \end{bmatrix} =    \begin{bmatrix} ? \\ ? \end{bmatrix}
       $$

$$      A        *        B       =       C$$

现在我们取 C 中一个元素，就比如取 C 中一个元素C₃₄：

$$
C = \begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} \\
c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} \\
c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34} \\
c_{41} & c_{42} & c_{43} & c_{44}
\end{bmatrix}
$$

这个下标的意义就是 C_{所属行，所属列}。它的计算也和其密切相关。即 A中 C_所属行行向量，B中C_所属列列向量的数量积的值即为C_{所属行，所属列}的值。

$$
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{bmatrix}
$$

$$
B = \begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} \\
b_{41} & b_{42} & b_{43} & b_{44}
\end{bmatrix}
$$

$$
C = A \times B = \begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} \\
c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} \\
c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34} \\
c_{41} & c_{42} & c_{43} & c_{44}
\end{bmatrix}
$$

$$
c_{ij} = \sum_{k=1}^4 a_{ik} \cdot b_{kj}
$$

规格： $3 \times 4 \quad \times \quad 4 \times 4 \quad = \quad 3 \times 4$
 \[
   C_{34} = \sum_{k=1}^{n} a_{3k} b_{k4} = a_{31} b_{14} + a_{32} b_{24} + a_{33} b_{44} + \cdots
   \]
\[
   C_{ij} = (\text{A 中第 } i \text{ 行向量}) \cdot (\text{B 中第 } j \text{ 列向量}) = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}
   \]

另外这里还要注意一下矩阵的规格问题，因为矩阵乘法运算是使用前一个矩阵的行向量点乘后一个矩阵的列向量，所以从向量角度看，它们必须有相同的分量。故A 的列数必须与 B 的行数相同，结果 C 矩阵的规格为 A 的行数，B 的列数。

 $$ A(m,n) \cdot B(n,p) = C(m,p) $$

1.2列组合与行组合方式

1.2.1 列组合：

之前学习过矩阵与列向量的乘积，得到一个列向量：

1.2.2 行组合：

1.3 列乘以行：

常规方法中，计算 $$A*B=C$$

矩阵乘法时，使用 A的行向量乘上B的列向量得到C中各个位置的元素。而我们这次介绍的方法，是用 A 的列向量乘上 B的行向量得到各个矩阵，再将矩阵相加，得到 C。

【例】求解

$$ \left[ \begin{matrix} 2 & 7 \\ 3 & 8 \\ 4 & 9 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 6 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] $$

列乘行方法：

$$
\begin{bmatrix}
2 & 7 \\
3 & 8 \\
4 & 9 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 6 \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 &\\
3 &\\
4 &\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 &6
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
7 &\\
8 &\\
9 &\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 &0
\end{bmatrix}  
 =
\begin{bmatrix}
2 & 12 \\
3 & 18 \\
4 & 24 \\
\end{bmatrix}
$$

1.3 分块乘法：

分块乘法就是宏观上的矩阵乘法，比如现在有一个 50*50 的矩阵与 50*50 矩阵相乘，一个一个进行运算很麻烦，尤其是如果矩阵在某一区域上有一定的性质，那么我们可以将其分块，如：

$$  \begin{bmatrix}
A_1 & A_2 \\
A_3 & A_4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
B_1 & B_2 \\
B_3 & B_4
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
C_1 & C_2 \\
C_3 & C_4
\end{bmatrix} ]$$其中的 A1,2,3,4与 B1,2,3,4都是划分之后的一块块矩阵，得到的各个部分。

而𝐶1= 𝐴1𝐵1+ 𝐴2𝐵3，和矩阵乘法的计算步骤一样，只是这里的𝐴1𝐵1，𝐴2𝐵3都

是矩阵之间的乘法而已。只要 A 与 B 分块相互匹配，就可以用这样的分块乘法求解。

2.逆矩阵

2.1 逆矩阵介绍

之前介绍过一点逆矩阵的定义，对于一个方阵 A，如果A可逆，就有这样一个𝐴⁻¹使：𝐴𝐴⁻¹ = I = 𝐴⁻¹𝐴

如果 A是非方阵，左侧的𝐴⁻¹与右侧的𝐴⁻¹不可能相同，因为这时左右侧𝐴⁻¹形状一定不相同，那么这就违背了我们说的“一个”𝐴⁻¹。

再举一个没有逆的矩阵，学习过行列式的同学一下子就可以算出来，

$$  \begin{bmatrix}
1 & 3 \\
2 & 6
\end{bmatrix}$$

这个矩阵对应行列式为 0，所以矩阵不可逆。但是本门课程并不是从行列式开始介绍，那么我们换一种看法。我们看到这个矩阵中含两个列向量[1  2]，[3  6]这两个向量，它们之间互成倍数，也就是说这两个向量之一对其线性组合无意义，那么这个A不可能有逆。换句话说：

若存在非零向量 x，使得 Ax = 0，那么 A 就不可能有逆矩阵

为什么呢？这样，如果 A有逆，在Ax = 0这个等式两端同时乘上𝐴⁻¹，就有：𝐴⁻¹𝐴x = Ix = 零向量；

而Ix 不可能是零向量，自相矛盾。所以此时 A没有逆矩阵。

2.2 逆矩阵求解

其实求逆矩阵就是解方程组的过程，举例说明：

【例】求解下面这个矩阵的逆矩阵：

\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
2 & 7 \\
\end{bmatrix}

解这个方程就行了，但是这样做低阶矩阵还好，高阶矩阵计算量未免太大了。所以这里介绍，高斯-若尔当方法：

2.2.1 高斯-若尔当方法

$$
 \begin{bmatrix}
 1 & 3 \\
 2 & 7
 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
 a \\
 c
 \end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}
 1 \\
 0
 \end{bmatrix}
 $$

$$
 \begin{bmatrix}
 1 & 3 \\
 2 & 7
 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
 b \\
 d
 \end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}
 0 \\
 1
 \end{bmatrix}
 $$

这个方法就是可以同时处理两个方程组，即使用增广矩阵联系两个方程；

增广矩阵：

这节介绍了认识矩阵乘法的不同角度，并介绍了逆矩阵的相关知识以及如何即求解逆矩阵。这节内容很好的体现了我自己认为的这门课的优点之一：少有繁琐的证明，更多的理解与类比。多从向量，空间，线性组合的角度去认识矩阵之间的运算。

2024-07-23