《线性代数》学习笔记

记得上一节中我们讨论了列空间和零空间的相关问题，那么这一节我们从它们的定义过渡到它们的计算，即如何求解出这些空间的一般形式。给出一种可以解出Ax = 0中的x构成的零空间的算法。

1. 消元法求解零空间

之前在讲解使用消元法解方程组Ax = b时，其中矩阵A不可逆的情况无法处理。之前对这种情况的解释是：求出的解不唯一。这正好对应了我们现在学到的“空间”概念。

我们首先从最简单的零空间（b = 0）的计算谈起。

1.1 消元法确定主变量与自由变量（消元）

【例】求由Ax = 0中的x构成的零空间。

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 4 & 6 & 8 \\
3 & 6 & 8 & 10
\end{array}\right]
$$

Ax=0其实就是一个方程组：

$$
\left[\begin{array}{llcc}
1 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 4 & 6 & 8 \\
3 & 6 & 8 & 10
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_3 \\
x_4
\end{array}\right]=0
$$

还是使用之前学过的消元法来直接处理矩阵A：

$$
\left[\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 4 & 6 & 8 \\
3 & 6 & 8 & 10
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{llll}
1 & 2 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 2 & 4
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{llll}
1 & 2 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]=\mathrm{U}
$$

首先注意A矩阵消元之后只有两个主元：1和2，主元的个数被称为秩；即A的秩r为：2；接下来应该是进行回代求解了，但是在这之前，由于消元得到的U不是一个严格的上三角矩阵：

$$
\left[\begin{array}{llll}
1 & 2 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

对角线上的0给我们造成了解不唯一的麻烦。所以先来明确几个概念：

所以这个U的主变量(主元)为𝑥₁，𝑥_3；自由变量为𝑥₂，𝑥₄。

1.2 对自由变量赋值覆盖零空间（回代）

1.首先给自由变量[𝑥₂ 𝑥₄]^T赋值为[1 0]^T，回代入方程组：

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+2 x_2+2 x_3+2 x_4 & =0 \\
2 x_3+4 x_4 & =0
\end{aligned}\right.
$$当 $\left[\begin{array}{l}x_2 \\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right]$ 时, 解向量为: $\left[\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]$

2.再给自由变量[𝑥₂ 𝑥₄]^T赋值为[0 1]^T。再次回代入方程组：

$$
\text { 这次当 }\left[\begin{array}{l}
x_2 \\
x_4
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right] \text { 时, 解向量为 }\left[\begin{array}{c}
\ 2 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{array}\right]
$$

还有别的给[𝑥₂𝑥₄]^T赋值的方法吗？很明显其余的赋值方法都可以被[0 1]^T和[1 0]^T的线性组合所覆盖，所以这两个解向量足够代表零空间的特征了，我们称这两个解向量为：特解。其特殊之处便在于给自由变量赋值为了[0 1]^T和[1 0]^T;通过特解的任意倍的线性组合可以构造出整个零空间。

$$
\begin{aligned}
& \text { 即 }\left\{\begin{array}{c}
A x=0 \text { 的所有解 } \\
A x=0 \text { 中的 } x \text { 构成的零空间 }
\end{array}\right. \text { 为: } \end{aligned}$$

$$
\mathrm{x}=\mathrm{c}\left[\begin{array}{c}
-2 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}
2 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{array}\right]
$$

1.3 算法总结

对于一个m*n的矩阵A，若其秩(R)为r，那么就意味着其主变量为r个，而自由变量为n-r个；也就是只有 r 个方程起作用，而一共有 n 个变量 x，我们将其中的n-r 个自由变量依次赋值为：

$$
\left[\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
. \\
0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
\cdots \\
0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
\cdots \\
1
\end{array}\right]
$$

接下来解方程求特解，将特解的任意倍进行线性组合即可：

2. 简化行阶梯形式

上面的消元法看上去已经很完美了，但是最后一步解方程还有化简的余地，最后得到的U矩阵还可以被进一步化简。拿上面【例】中的U矩阵为例，继续简化：

$$
\left[\begin{array}{llll}
1 & 2 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

首先向上消元，使主元列除主元之外都是 0：

$$ \left[\begin{array}{llll} 1 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$

提出一列元素公倍数，使主元均为 1：

$$
2\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 2 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

注：这就是简化行阶梯形式，将原来的行阶梯型矩阵简化，得到主列，自由列的最简单形式。

列交换，使左上角变为单位阵 I：

$$
2\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 2 & -2 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

显然，倍数2可以略去不看，不影响我们的解:

$$
\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 2 & -2 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]=\mathrm{R}
$$

也就是说m*n 的A 可以被化简为如下形式：

对比上面的R很好理解。左上角I是消元化简之后得到的r*r大小的单位阵，代表着主列。右上角的F代表着自由列经过化简剩余的形式。

现在假设有一个零空间矩阵：即零空间矩阵各列由特解组成，记N为零空间矩阵。联系之前学习矩阵乘法时学到的分块乘法，不难得到：

$$
\mathrm{Ax}=\mathrm{Rx}=\left[\begin{array}{ll}
I & F \\
0 & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x_{\text {主元 }} \\
x_{\text {自由变量 }}
\end{array}\right]=\mathrm{RN}=0
$$

交换二三行，取N的列向量，即为特解（所以R 可以直接求解零空间）。

$$
\left[\begin{array}{c}
-2 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}
2 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{array}\right]
$$

【例】 $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{llc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 6 & 8 \\ 2 & 8 & 10\end{array}\right]$, 求解 $\mathrm{Ax}=0$ 中 x 构成的零空间。
解:
（1） A 消元为 $U:\left[\begin{array}{llc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 6 & 8 \\ 2 & 8 & 10\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]=U$ （秩 $r$ 为 2 ）
（2） U 化简为 $R:\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]=R$ (提一行的公倍数不影响解)
（3）分块，写出零空间矩阵

这节学习的是计算 Ax = 0 中的x构成的零空间的方法，即消元，找主变量与自由变量，为自由变量赋值，得到特解，特解线性组合得到零空间。后面又介绍了化简U变为R，直接利用R的结构得到零空间矩阵N的方法。

2024-07-30