《线性代数》学习笔记

上一节中，学习矩阵引出的空间概念，以及Ax = 0的求解过程。本节进一步探讨，给出求解Ax = b的一般求解方法以及可解条件。并总结上节中提到的“秩”对不同形式方程的解的影响。

1. Ax=b 的解

1.1 可解性

这节要介绍解Ax = b，这个方程并不一定有解。我们通过一个例子来说明：

【例 1】
求方程: $\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right]$ 的可解条件

这里的A有一个特点，就是1、2两行之和等于第三行。根据之前学到的技巧(2节的增广消元法)，列增广矩阵后消元，由于之前写过很多消元步骤了，这里不再赘述。不难得到：

$$
\begin{bmatrix}
\color{red}{1} & 2 & 2 & 2 & b_1 \\
0 & 0 & \color{red}{2} & 4 & b_2 - 2b_1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & b_3 - b_2 - b_1
\end{bmatrix}
$$

观察最后一行，代入方程会得到：0 = 𝑏3− 𝑏2− 𝑏1。这一行方程必须成立。

$$  \begin{align*}
x_1 + 2x_2 + 2x_3 &= b_1 \\
2x_3 &= b_2 - 2b_1 \\
0 &= b_3 - b_2 - b_1
\end{align*} $$

因此本方程的可解条件为: 0 = 𝑏3− 𝑏2− 𝑏1。再看这个条件：0 = 𝑏3− 𝑏2− 𝑏1，它反映了一种线性组合特点，即b向量的第三个分量是前两个分量之和。反过来看A矩阵本身特点，发现A矩阵第三行也是前两行的和。Ax = b有解的条件是b在A的列空间中。这个例子再一次印证了这个条件。

Ax = b有解的条件：

• 列空间角度：当且仅当b属于A的列空间时成立。

• 线性组合角度：b必须是A各列的线性组合。

• A矩阵本身变换角度：如果A的各行线性组合得到零行,b取相同运算方式，必将得到自然数0。

1.2 完整解方程过程

接下来我们介绍通解，特解，并借此求解方程 Ax = b。设b = [1 5 6]^T满足可解条件，我们来彻底求解方程。

首先介绍一下通解概念。什么是通解呢？就是满足这个方程的所有解。 将“无穷解”用一种形式表达出来。对于Ax = b这个方程， 通解 = 矩阵零空间向量 + 矩阵特解。

矩阵零空间向量代入方程最后结果等于0，所以它不会影响等式，而是把方程的解向量扩展到一个类似子空间上，使求出的解更具有普遍意义。而矩阵零空间向量之前介绍过，那么只需要关注特解的求解。

上一节中我们求解Ax = 0方程的特解时，分别将自由变量赋值为0/1，这是因为最特殊的赋值方式：自由变元全部赋值为0的方式在Ax = 0中行不通，因为这样的赋值方式在Ax = 0中得到的是零向量，但是我们最后求出的通解为：

$$
\mathrm{x}=\mathrm{c}\left[\begin{array}{c}
-2 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}
2 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{array}\right]
$$

只要将系数全定为0就可以得到“零向量”这个解。在解Ax = 0时不能将自由变元全赋为0；但是Ax = b这个方程不同，只要b不是 0，我们就可以将自由变元全部赋值为0。本例中我们使用此方法得到特解：

我们让自由变元𝑥₂，𝑥₄ = 0，回代方程得到：

$$
\begin{aligned}
& x_1+2 x_3=1 \\
& 2 x_3=3
\end{aligned}
$$ 

解得特解为:

$$ \left[\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 3 / 2 \\ 0\end{array}\right]$$

通过上一节的知识我们很容易求出Ax = 0对应的A在零空间中的解：

$$
c_1\left[\begin{array}{c}
-2 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}
2 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{array}\right]
$$

所以最后的结果为：特解 + 零空间任意向量。

$$
\left[\begin{array}{c}
-2 \\
0 \\
3 / 2 \\
0
\end{array}\right]+c_1\left[\begin{array}{c}
-2 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}
2 \\
0 \\
-2 \\
1
\end{array}\right]
$$

这个解集在几何角度的解释为：𝑅⁴上的一个二维平面，但这个解集无法构成一个向量空间，因为解集中不存在零向量。即解集在空间中表现为𝑅⁴中的一个不过原点的平面。

2. m*n 的矩阵A——秩与解的关系

很明显在上面我们消元求Ax = b的过程中，矩阵A的秩对最后解的形式有至关重要的影响：

2.1 列满秩

即m*n 的矩阵A 中，秩R = n < m。例如：

消元后A为[𝐼 0]^T形式。我们发现这样的矩阵没有自由变元，即𝑥₁，𝑥₂…𝑥_𝑛都为主元。这样的矩阵零空间向量中只有一个向量——零向量。这样的矩阵A构造的方程Ax = b，要么不满足可解条件，要么只有一种符合对应方程组的解。

解最后只有两种情况：有解且唯一、无解，不满足可解条件

2.2 行满秩

即m*n的矩阵中，秩R = m < n。例如：

上一节中介绍过，这样的矩阵消元之后会是[𝐼 𝐹]形式（I表示单位阵，F表示其他部分），这样的矩阵构成的方程Ax = b，最后是无穷多个解，因为该种矩阵中，永远有自由变元(n–R)个。

2.3 行列皆满秩

当m*n矩阵A是方阵时，即有m = n时，那么秩 R = m时，R也必等于n。例：

这种矩阵经过消元，必可以化为单位阵I，自由变量个数为0。只能得到一个全是主元的方程组。所以这种矩阵构成的Ax = b方程最后只能有唯一解。

2.4 不满秩

秩R<n,而且R<m时，A矩阵不满秩，此时A可化简为[𝐼 𝐹  0 0]形式，最后化简结果中有0行。b的分量与零行牵扯出了可解条件的存在。所以这样的矩阵A所构成的Ax = b方程解有两种情况：不满足可解条件（零行导致的可解条件）、解无穷多个（特解 + 零空间所有向量）。

2.5 总结

观察以上情况，自由变量总为（n-r）个，所以先判断自由变量个数可以初步判断Ax = b的解的结构：

$$
\left\{\begin{array}{l}
n-r=0 \text { 时, 方程即为唯一解或不满足可解条件而无解。 } \\
n-r \neq 0 \text { 时, 方程为无穷多解或不满足可解条件而无解。 }
\end{array}\right.
$$

而可解条件的产生是由于A消元之后的0行导致的，所以再判断A消元之后会不会有零行产生就可以确定解的结构：

• 消元后有零行产生时，需要考虑方程是否满足可解条件。

• 消元后没有零行时，方程不用考虑可解条件的影响。

本节基于上一节中零空间的求解，延伸介绍了Ax = b的一般解法。并从A矩阵秩的角度探讨了秩与方程解的结构之间的联系。至此已经学完了解方程Ax= b形式矩阵方程的所有问题，在这个过程中，我们需要注意的无非就是自由变元个数，以及通解和特解问题，整体而言，这部分重在求解流程以及如何理解。正确理解向量空间之后，理解这种矩阵方程问题也就不是什么难事了。

2024-07-30