《线性代数》学习笔记

之前消元处理矩阵时，经常发现矩阵中有时会有一行或几行本身就是前面几行的线性组合情况，这一节将从这种线性相关或线性无关的特征入手，介绍空间中的几个重要的概念：基，维数。

1. 线性无关与线性相关

1.1 背景知识

首先强调，接下来谈论的概念是基于向量组的，而不是基于矩阵。线性无关，线性相关是向量组内的关系，基也是一个向量组，不要与矩阵概念混淆。

首先从之前学习的Ax = 0方程谈起。假设 m*n的矩阵A：

显然，n>m，以这样的矩阵A构成的方程Ax = 0，此时未知数𝑥_𝑛的个数比方程的个数多。未知数一共n个，方程一共m个。所以此时 A的零空间中除零向量以外还有其他向量;A一定有自由变量(至少有n-m个自由变量)，造成了零空间中向量的无穷解。

1.2 线性无关与线性相关

我们之前也接触了线性无关与线性相关的相关概念。接下来直接给出定义：

• 线性无关：除系数全为0的情况外，没有其他线性组合方式能得到零向量，则这组向量线性无关。

设向量组为 𝑥1， 𝑥2， 𝑥3…𝑥𝑛。 即c不全为 0时， 任何 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ……𝑐𝑛𝑥𝑛

线性组合的结果都不为零，则此向量组线性无关。

• 线性相关：除了零组合之外还有其他的线性组合方式能得到零向量，则这组向量线性相关。

注：如果一个向量组中有零向量存在，那么这个向量组一定是线性相关的。

【举例说明】

1.𝑣₁与2𝑣₁组成的向量组：-2(𝑣₁) + (2𝑣₁) = 0 线性相关；

2.𝑣₁与零向量组成的向量组：0(𝑣₁) + 1(0) = 0 线性相关；

3.二维平面上不共线的两个向量：没有线性组合可以使它们构成零向量，此向量组线性无关；

4.二维平面上不共线的三个向量：二维平面上的三个向量之间一定是线性相关的。

1.3 零空间的作用

根据上面的例，我们再从矩阵的零空间与矩阵列向量角度重新定义向量组的线性相关、无关。假设现有一m*n矩阵A：

• 如果A各列向量构成的向量组是线性无关的，那么矩阵A的零空间中只有零向量。

• 如果A各列向量构成的向量组是线性相关的，那么矩阵A零空间中除零向量之外还一定有其他向量。

很好理解上面零空间角度的定义。因为零空间反映的就是A各列向量的线性组合。

从秩的角度看来：

• 线性无关对应向量组构成的矩阵，秩为n，此时没有自由变量，零空间中只有零向量存在。

• 线性相关对应向量组构成的矩阵，秩小于n，有n-r个自由变量，零空间中有很多向量。

1.4 生成空间

所谓生成空间，即为此空间由向量v₁，v₂，v₃···v_n以及它们的线性组合构成；就称v₁，v₂，v₃···v_n生成了一个空间，可以理解为：把向量组的所有线性组合放到了一个空间里面。

但是v₁，v₂，v₃···v_n不一定是线性无关的，我们更关心线性无关的v₁，v₂，v₃···v_n，因为它们可以表示出空间的特征，这就引出了“基”的概念

2. 基

首先给出“基”的概念：

一组向量v₁，v₂，v₃···v_n具有两个性质：

（1）v₁，v₂，v₃···v_n线性无关。

（2）v₁，v₂，v₃···v_n生成整个空间。

例：三维空间中的[1 0 0]^T，[0 1 0]^T，[0 0 1]^T。

一个空间的基有很多种，比如三维空间的基还可以是[1 1 2]^T，[2 2 5]^T，[0 4 𝜋]^T。一个空间的不同基，其中向量的个数是一定的。如果A是𝑅^𝑛空间的基，那么A中向量的个数就是n个。比如三维空间𝑅³，基一定是三个向量构成的向量组。

𝑅^𝑛中的n个向量构成基，则以这n个向量构成的n*n矩阵必须可逆。

3. 维数

上面介绍基的时候提到了𝑅_𝑛空间的基中向量个数为n个。这个“n”我们称之为维数。同一个空间内，即使基不同，基向量的个数也必须相等。理解维数也很简单，像我们的三维空间，其基一定是三个三维向量（三个向量，每个向量有三个分量），四维空间的基也一定是四个四维向量。

4. 总结

假设列空间由矩阵 A确定：

$$ A=\left[\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{array}\right] $$

（1）A 的各列是不是A列空间的基？

显然不是。

从线性组合角度看，列1加列2等于列3，这几列显然线性相关。或从零空间的角度看来，求A的零空间中向量：Ac = 0，其中一个特解为：[−1 −1 1 0 ]^T，就意味着零空间中不只有零向量。所以这些列向量线性相关，不能构成基。

（2）找出A列空间的一个基

从A的结构看来：

    第3列 = 第1列 + 第2列。

    第4列 = 第1列。

显然，可以取前两列作为基。所以A的列空间的维数为：2。显然A的秩为2，消元后只有两个主列。所以有：

矩阵A的秩 = 矩阵A主列的个数 = A列空间的维数

这下我们就将矩阵的秩与列空间的维数联系了起来，而更重要的是，知道了列空间的维数，那么在这个列空间中随便找两个线性无关的向量，它们就可以构成一组基，这组基就可以生成这个列空间。

（3）A对应零空间的维数为多少?

所谓零空间维数，即是零空间基的个数，也是Ax = 0的特解的个数，还可以理解为：Ax = 0的解中自由变量的个数。最简单的方法是解 Ax = 0这个方程。经过消元，自由变量赋值，回代，最后得到两个特解：

$$ \left[\begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] $$

所以此零空间的维数为2。

类似，有这样一个很简单的公式：m*n矩阵中，主列个数为r，秩为r，则有：

零空间维数 = n-r

这一节内容十分简单，就是几个概念的介绍：线性相关、无关，基，维数。这一节这几个概念都是用来描述空间的，了解这几个概念之后，便将矩阵的秩，矩阵的自由变量等概念与空间的维数，基，线性相关、无关的判定联系起来。便于我们接下来对向量空间的研究。

2024-07-31