《线性代数》学习笔记

上面我们介绍过列空间，零空间。但是这还远远不够，对一个矩阵来说，我们能从它身上挖掘出的空间远不止这些，所以这一节我们介绍四个基本子空间，也是对空间概念的补充，便于我们接下来的讨论。

1. 四个基本空间介绍

对于一个m*n矩阵A来说:

• 列空间 C(A)：即之前介绍过的，列空间即是矩阵A的列向量线性组合构成的空间。对于m*n的矩阵A来说，每个列向量有m个分量，即列向量属于𝑅^𝑚空间。

• 零空间 N(A)：由Ax = 0的解构成的空间。由于x本质是对A列向量的线性组合，A一共有n个列向量，所以零空间是𝑅^𝑛的子空间。

• 行空间 C(𝑨^𝑻)：行空间就是矩阵A各行线性组合构成的子空间。也可以理解为A转置的列空间，即C(𝐴^𝑇)。A的每个行向量都有n个分量，所以每个行向量都在𝑅^𝑛中。A的行空间是𝑅^𝑛的子空间。

• 左零空间 N(𝑨^𝑻)：𝐴^𝑇是一个n*m的矩阵，结合零空间的介绍，𝐴^𝑇一共有m个列向量，左零空间是𝑅^𝑚的子空间。

1.1 四个基本空间的维数与基

还是研究m*n的矩阵A，其四个子空间的基本性质如下：

列空间：设矩阵A的秩为r，则A有r个主列，这r个主列就是列空间C(A)一组基，一组基里有r个向量，列空间维数为r；

零空间：矩阵A秩为r时，自由列为n-r列。这n-r列决定了x中的n-r个自由变元，赋值后就构成了零空间的n-r个基向量，故零空间维数为n-r；

行空间：A的行空间可以化为𝐴^𝑇的列空间。直接对A的行向量进行变换，最后行空间的维数为秩数r。

【例】

$$
A=\left[\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 1
\end{array}\right]
$$

我们接下来从行空间的角度来研究这个矩阵的基与维数。直接对A进行行变换，得到：

$$
\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

这个矩阵我们很熟悉，左上角是单位矩阵I，右上角是自由列F，下面是全零行。这就是行最简形矩阵R。

显然，A只有两行线性无关，所以A秩为2，所以A行向量的基就是R的前两行，维数为2。

注：经过行变换，矩阵A的列空间显然改变了：C(A)≠C(R)。显然列向量[1 1 1]^T在A的列空间中，但是并不在R的列空间中。但是行变换并没有改变A的行空间，因为所谓行空间就是A行向量的线性组合，而我们进行的行变换就是取原来行向量的一些线性组合，并没有改变行空间。

从上面这个例子中，我们知道行空间会在行最简型R中以最佳形式表现出来。也就是说，将A化简为行最简型R后取前r(秩数)行向量，即为A行空间的基。

左零空间：𝐴^𝑇y = 0，我们不处理𝐴^𝑇，所以将方程两边同时转置，得到：𝑦^𝑇A = 0；对于A矩阵本身来说，𝑦^𝑇左乘矩阵A得到零向量，所以我们称之为左零空间。理解为𝐴^𝑇的零空间更直接。

上面提到了，𝐴^𝑇是一个n*m的矩阵，m与n位置颠倒，所以𝐴^𝑇零空间维数为m-r。那么怎样找它的基向量呢？

首先明确，零空间内的向量反映的是A列向量线性组合，最终得到零向量。而左零空间反映的就是A的行向量的线性组合，最终得到零向量。

这就让我们想到了上面行向量的处理方式：设

$$
A=\left[\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 1
\end{array}\right]
$$ 

行变换后得到最简矩阵：

$$
\mathrm{R}:\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

R下面有零行，也就是一种线性组合将A行向量组合后得到了零向量。而这个行变换过程可以用一种消元矩阵反映出来：

$$
E A=E\left[\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]=R
$$

说明得到E矩阵，找到其中对应的第三行向量，就是将A各行组合得到零的方式。

联想高斯-若尔当消元法，根据A𝐴⁻¹ = I得到了𝐴⁻¹，这里我也能根据EA = R，得到矩阵E；将A与I写在一起，通过行变换，将 A化为R，则右侧原本的I就变为了E。

[𝐴 𝐼] 初等行变换→ [𝑅 𝐸]

原因和高斯-若尔当消元法一样，A变为R相当于左乘E矩阵，同样处理单位阵I，得到的即是矩阵E。

$$
\mathrm{EA}=\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]=\mathrm{R}
$$

观察R下面一行为零行，抽出 E第三行

$$
\left[\begin{array}{lll}
-1 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]=0
$$

这样就得到了左零空间的一组基：[−1 0 1]，也正是m-r = 3-2 = 1个向量。所以寻找左零矩阵的基，重点在于找A行组合为零的系数，也就是上面的活用高斯—若尔当消元法，将[𝐴 𝐼]初等行变换→ [𝑅 𝐸] ，进而求得E矩阵，写出EA = R，寻找R中的零行，对应找到E中的线性组合方式，就得到了左零空间的基。

1.2 四个基本空间图像：

经过上面的总结，四个基本空间图像如下：

2. 矩阵空间

这是一种新的对空间的定义，实际上，线性空间的元素并不一定是实数组成的向量，我们可以将所有3*3的矩阵当成一个所谓“向量空间”中的向量，只要满足线性空间的八条规律，对线性运算封闭，就可以将其当做线性空间中的元素。因为矩阵本身也满足线性空间的八条运算律，我们就可以将所有的3*3矩阵看做一个线性空间。将所有的3*3矩阵看做了一个线性空间，那么它的子空间有什么呢？

上三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵；上三角矩阵与对称矩阵的交集为对角矩阵。深入研究对角矩阵，就要给出它的基，这里随意给出一个：

$$
\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 7
\end{array}\right] $$

这里只是给出一种理解线性空间的方式，下节会详细介绍这部分内容。

本节也是概念的渗透，介绍四个基本空间，其中比较新的内容是左零空间，即行向量的线性组合得到零。前面重点在于1.2的图，以后会经常用到。另外给下一节开了个头，引申了向量空间概念。

2024-08-01