《线性代数》学习笔记

上节末尾介绍了矩阵空间，这是一种延伸的向量空间。这节从矩阵空间谈起，介绍矩阵空间的维数，基等问题。渗透一些微分方程与线性代数之间的联系，并介绍秩为1的矩阵特点。

1. 矩阵空间

还是上一节中的问题，将所有3*3的矩阵都看做“向量空间”中的元素，由所有3*3矩阵构成的集合中，矩阵之间加法与数乘矩阵都是封闭的，所以所有3*3矩阵构成的集合M可以被称为空间。

M有两个基本的子空间：对称矩阵S、上三角矩阵U；

上面两个矩阵集合中，加法封闭与数乘封闭都很容易得到证明。而S与U空间相交，得到另一个子空间对角阵D。

1.1 基与维数

最明显的就是M的基，对任何一个3*3矩阵都适用的基，类似𝑅⁹的基：

$$
\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 7
\end{array}\right] .
$$

与𝑅⁹的向量空间类似，只不过这里矩阵自身的性质决定了基的存在状态。M的维数为9；

接下来要讨论的是对称矩阵S与上三角矩阵U：S与U的基也很好写出，让每个元素都等于一次1：

对称阵 $S$ 的基有6个: 

$$
\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$ 

上三角矩阵 $U$ 的基有6个: 

$$
\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

所以S，U维数都是6。矩阵基与向量形式上的不同。再看对角阵D，明显只有三个基：

$$
\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

即对角阵维数为3，基正好为S与U的交集。也可以写为：dim（S∩U）= 3。

考虑一下并集，之前向量空间中也介绍过，这样的两个子空间的并集不是向量空间，因为两个向量加和会脱离范围。怎样才能使两个空间的和为一个向量空间呢？

这个空间叫做：S+U，它与并集的不同就在于，并集只包含了S与U，而S+U集合包含了它们两个的线性组合，就是任意对称阵加上任意上三角矩阵的和都包含于这个集合里。这个集合就是M，所以S+U的维数是9。

联系上面的所有维数，有这样一个等式：

dim(S) + dim(U) = dim(S∩U) + dim(S+U)

6 + 6 = 3 + 9

1.2 微分方程

同样的“空间”概念还适用于很多地方，这样的线性空间内元素不一定是向量，矩阵，还可以是方程的解。

例如：解微分方程 

$$
\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0
$$

只考虑实数范围，很明显这个微分方程有两个特解y=sinx与y=cosx；而所有的解就是这两个特解的线性组合y=𝑐₁cosx+𝑐₁sinx。

这很类似于零空间，也就是说我们将这些解看做线性空间中的元素也可以。所以我们可以称其为解空间。其中的元素是解，满足线性运算封闭条件。那么从空间的角度出发，这个解空间两个基就是cosx与sinx，其线性组合构成了解空间，解空间维数为2。

2. 秩一矩阵

2.1 秩一矩阵的优点

$$
\text { 例：矩阵 } \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 5 \\
2 & 8 & 10
\end{array}\right]
$$

很明显A秩为 1，可以被分解为

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 5 \\
2 & 8 & 10
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
1 \\
2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}
1 & 4 & 5
\end{array}\right]
$$

这就是秩一矩阵的优点，每一行都是第一行的几倍。可以被分解为一列乘一行的形式。都可以写为：A = U𝑉^𝑇

秩一矩阵的另外一个优点是它可以“搭建”其他矩阵，比如秩为4的矩阵，通过四个秩一矩阵就能搭建出来。具体过程类似于矩阵乘法中的“列乘行”形式，通过一列一行搭出一个矩阵。

2.2 空间角度解释同秩矩阵

那么从空间角度看，所有秩为4的矩阵构成的集合M，能称之为空间么？肯定不是。其中都不包含零向量。另外，因为有这样一个性质存在：

R(A+B) ≤ R(A) + R(B)

这就意味着M这个集合对加法也不封闭。两个秩为4的矩阵相加，结果的秩可能大于4。所以所有秩为4的矩阵集合并不能构成空间。同理，秩为1的矩阵集合也不能构成空间。

2.3 子空间的转化

【例】四维空间中的向量都有四个分量

$$
\mathrm{V}=\left[\begin{array}{l}
v_1 \\
v_2 \\
v_3 \\
v_4
\end{array}\right]
$$

设S为一个集合，其中的向量都满足：V₁+V₂+V₃+V₄=0。则S是不是一个子空间？若是，那么其维数是多少？

S显然是一个子空间，V₁+V₂+V₃+V₄=0这个特点，对加法和数乘都封闭。而且S中肯定有零向量，故S是一个子空间。

假设有一矩阵A，A = [1 1 1 1]，由S中v的特殊性质:

$$
\mathrm{Av}=\left[\begin{array}{llll}
1 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
v_1 \\
v_2 \\
v_3 \\
v_4
\end{array}\right]=v_1+v_2+v_3+v_4=0
$$

通过A构造了一个Ax = 0的方程，将S空间转化为了A的零空间。问题也转化为求此零空间的基和维数。

矩阵A的秩r为1，列数n=4，主元只有一个，自由变元有三个。

[𝟏1 1 1]

因此维度为 n-r =3，S的零空间是三维空间。其基为Av = 0的三个特解

$$
\left[\begin{array}{r}
-1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}
-1 \\
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}
-1 \\
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
$$

这下我们就解决了这个问题，接下来回顾A的列空间与左零空间：

A = [1 1 1 1]，很明显它的列空间的基就是𝑅¹的基，其线性组合构成的空间就是𝑅¹。A列空间即为𝑅¹。

左零空间N(𝐴𝑇)：A的左零空间即是线性组合各行得到零向量的方式，A的左零空间只有零向量。

3. 小世界图

这部分是对下一节“图与网络”的引出，主要渗透一下图与矩阵的关联。有这样一个图：

这个图包括五个节点和六条边， 可以用一个5*6的矩阵来表示其中的所有信息。“六度分割理论”：任何两位素不相识的人之间，通过一定的联系方式，总能够产生必然联系或关系。这个概念即是将人抽象成点，将联系抽象为图。

这一节中主要介绍了线性空间，一并介绍了类似于矩阵空间，解空间这一类空间的存在。秩一矩阵将我们之前学习的矩阵乘法列乘行方式联系起来。

2024-08-01