《线性代数》学习笔记

本节主要介绍图与矩阵之间的关联，利用矩阵说明图的特点。这一节与之前几节的区别主要在于，前面例子中的矩阵中的元素大都是为了说明性质编造出来的，而本节中矩阵中的元素都是来源于实际问题，更能体现出我们之前介绍的性质在实际问题中的作用。

1. 图和关联矩阵

本节中研究的问题都是基于这个与有向图来研究的。它的关联矩阵A如下：

$$

\left[\begin{array}{rrrr}

-1 & 1 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 1 & 0 \\

-1 & 0 & 1 & 0 \\

-1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & -1 & 1

\end{array}\right]

$$

上面5*4矩阵中，每一列代表一个节点，比如：第一列代表结点1，第二列代表结点2..以此类推。而每一行代表的就是一条边的走势，同样，第一行代表边1第二行代表边2..等等。

这里需要注意的是，每一行所代表的边，体现在这一行元素上，表现为：该边以哪一个结点为起点，对应的矩阵中该元素为-1，而以哪个结点为终点，对应矩阵中该元素为 1。

举个例子，我们看第一行，第一行代表边1的特点，边1以结点1为起始点，以结点2为终点，这反映在矩阵上就是𝐴₁₁= -1，𝐴₁₂= 1。以此类推。

【例】我们假设x为每个结点上的电势，研究 Ax = b形式下，可以得到些什么定律。

1. 首先来研究b是零向量，也就是AX构成的零空间情况，这时我们要求解的是AX = 0。$$
   A X=\left[\begin{array}{rrrr}
   -1 & 1 & 0 & 0 \\
   0 & -1 & 1 & 0 \\
   -1 & 0 & 1 & 0 \\
   -1 & 0 & 0 & 1 \\
   0 & 0 & -1 & 1
   \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
   X_1 \\
   X_2 \\
   X_3 \\
   X_4
   \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
   X_2-X_1 \\
   X_3-X_2 \\
   X_3-X_1 \\
   X_4-X_1 \\
   X_4-X_3
   \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
   0 \\
   0 \\
   0 \\
   0 \\
   0
   \end{array}\right] \quad \text { 解得: } \mathrm{x}=C\left[\begin{array}{l}
   1 \\
   1 \\
   1 \\
   1 \\
   1
   \end{array}\right]
   $$由于x是各个节点上的电势，很明显，x的解集代表了b是0时，各点电势必须相等。电势差和电流的形成之间有着直接关系，b= 0，说明各个边上都没有电流（或者说电势差）的情况；各点电势相等时，边上电流为0，符合我们的常识。

2. b如果不为0，那么我们可以通过特解 + 通解的方式求出不同b的情况下，方程对应的解。代表着不同电势差情况下，各点电势的大小。接下来我们看一下左零空间 𝐴^𝑇y = 0会有什么特点：

首先，A矩阵的转置为：

$$
\left[\begin{array}{rcccc}
-1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\
1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right]
$$

此时，解这个方程得到：

$$
A^T \mathrm{y}=\left[\begin{array}{rrrrr}
-1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\
1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
y_1 \\
y_2 \\
y_3 \\
y_4 \\
y_5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right]
$$

A转置后行列互换，对应的y一共有五个分量，线性组合𝐴^𝑇的行。而𝐴^𝑇的行代表着1~5边。我们这里求的就是流过每条边的电流。求解方程，得到：

$$
\begin{aligned}
-y_1-y_3-y_4 & =0 \\
y_1-y_2 & =0 \\
y_2+y_3-y_5 & =0 \\
y_4+y_5 & =0
\end{aligned}
$$

注意上面的方程阐释了一个定律——基尔霍夫定律，即每个结点流入流出电流相同。这里的每个方程代表着一个节点的情况。我们最后解得的[y₁,y₂,y₃···]就是满足这个特点的各条边的电流值。

这一节与之前联系较多，与实际应用联系也较大。从一个图出发，联系实际物理问题，解释了如何用矩阵阐述欧姆定律以及基尔霍夫定律的。学习过本节之后，我们才算真正明白了之前学习的各种空间具体到实际问题有什么作用。

2024-08-02