《线性代数》学习笔记

讨论出行列式的性质： 

1. $\det{I}=1$，单位矩阵行列式值为一。

2. 交换行行列式变号。
在给出第三个性质之前，先由前两个性质可知，对置换矩阵有$\det P=\begin{cases}1\quad &even\\-1\quad &odd\end{cases}$。

   举例：$\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1,\quad\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=-1$，于是我们猜想，对于二阶方阵，行列式的计算公式为$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$。

3. $\begin{vmatrix}ta&tb\\tc&td\end{vmatrix}=t\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$

   $\begin{vmatrix}a+a'&b+b'\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a'&b'\\c&d\end{vmatrix}$。


   注意：这里并不是指$\det (A+B)=\det A+\det B$，方阵相加会使每一行相加，这里仅是针对某一行的线性变换。

4. 如果两行相等，则行列式为零。使用性质2交换两行易证。

5. 从第$k$行中减去第$i$行的$l$倍，行列式不变。这条性质是针对消元的，我们可以先消元，将方阵变为上三角形式后再计算行列式。


   举例：$\begin{vmatrix}a&b\\c-la&d-lb\end{vmatrix}\stackrel{3.b}{=}\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&b\\-la&-lb\end{vmatrix}\stackrel{3.a}{=}\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}-l\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}\stackrel{4}{=}\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$

6. 如果方阵的某一行为零，则其行列式值为零。使用性质3.a对为零行乘以不为零系数$l$，使$l\det A=\det A$即可证明；或使用性质5将某行加到为零行，使存在两行相等后使用性质4即可证明。

7. 有上三角行列式$U=\begin{vmatrix}d_{1}&*&\cdots&*\\0&d_{2}&\cdots&*\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&d_{n}\end{vmatrix}$，则$\det U=d_1d_2\cdots d_n$。使用性质5，从最后一行开始，将对角元素上方的$*$元素依次变为零，可以得到型为$D=\begin{vmatrix}d_{1}&0&\cdots&0\\0&d_{2}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&d_{n}\end{vmatrix}$的对角行列式，再使用性质3将对角元素提出得到$d_nd_{n-1}\cdots d_1\begin{vmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{vmatrix}$，得证。

8. 当矩阵$A$为奇异矩阵时，$\det A=0$；当且仅当$A$可逆时，有$\det A\neq0$。如果矩阵可逆，则化简为上三角形式后各行都含有主元，行列式即为主元乘积；如果矩阵奇异，则化简为上三角形式时会出现全零行，行列式为零。


   再回顾二阶情况：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\xrightarrow{消元}\begin{vmatrix}a&b\\0&d-\frac{c}{a}b\end{vmatrix}=ad-bc$，前面的猜想得到证实。

9. $\det AB=(\det A)(\det B)$。使用这一性质，$\det I=\det{A^{-1}A}=\det A^{-1}\det A$，所以$\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}$。

   同时还可以得到：$\det A^2=(\det A)^2$，以及$\det 2A=2^n\det A$，这个式子就像是求体积，对三维物体有每边翻倍则体积变为原来的八倍。

10. $\det A^T=\det A$，前面一直在关注行的属性给行列式带来的变化，有了这条性质，行的属性同样适用于列，比如对性质2就有“交换列行列式变号”。


    证明：$\left|A^T\right|=\left|A\right|\rightarrow\left|U^TL^T\right|=\left|LU\right|\rightarrow\left|U^T\right|\left|L^T\right|=\left|L\right|\left|U\right|$，值得注意的是，$L, U$的行列式并不因为转置而改变，得证。

    
    

行列式公式和代数余子式 

我们从三个简单的性质扩展出了一些很好的推论，本讲将继续使用这三条基本性质：

1. $\det I=1$；

2. 交换行行列式变号；

3. 对行列式的每一行都可以单独使用线性运算，其值不变；

我们使用这三条性质推导二阶方阵行列式：
$$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&0\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&0\\c&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&0\\0&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\c&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&b\\0&d\end{vmatrix}=ad-bc$$ 

按照这个方法，我们继续计算三阶方阵的行列式，可以想到，我们保持第二、三行不变，将第一行拆分为个行列式之和，再将每一部分的第二行拆分为三部分，这样就得到九个行列式，再接着拆分这九个行列式的第三行，最终得到二十七个行列式。可以想象到，这些矩阵中有很多值为零的行列式，我们只需要找到不为零的行列式，求和即可。
$$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&0&0\\0&0&a_{23}\\0&a_{32}&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&a_{12}&0\\a_{21}&0&0\\0&0&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&a_{12}&0\\0&0&a_{23}\\a_{31}&0&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\\a_{21}&0&0\\0&a_{32}&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\\0&a_{22}&0\\a_{31}&0&0\end{vmatrix}$$$$原式=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\tag{1}$$

同理，我们想继续推导出阶数更高的式子，按照上面的式子可知$n$阶行列式应该可以分解成$n!$个非零行列式（占据第一行的元素有$n$种选择，占据第二行的元素有$n-1$种选择，以此类推得$n!$）：
$$\det A=\sum_{n!} \pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}\cdots a_{n\omega}, (\alpha, \beta, \gamma, \omega)=P_n^n\tag{2}$$

这个公式还不完全，接下来需要考虑如何确定符号：
$$\begin{vmatrix}0&0&\overline 1&\underline 1\\0&\overline 1&\underline 1&0\\\overline 1&\underline 1&0&0\\\underline 1&0&0&\overline 1\end{vmatrix}$$ 

• 观察带有下划线的元素，它们的排列是$(4,3,2,1)$，变为$(1,2,3,4)$需要两步操作，所以应取$+$；

• 观察带有上划线的元素，它们的排列是$(3,2,1,4)$，变为$(1,2,3,4)$需要一步操作，所以应取$-$。

• 观察其他元素，我们无法找出除了上面两种以外的排列方式，于是该行列式值为零，这是一个奇异矩阵。

• 
  

  此处引入代数余子式的概念，它的作用是把$n$阶行列式化简为$n-1$阶行列式。于是我们把$(1)$式改写为：
  $$a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$$$\begin{vmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&a_{23}\\0&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&a_{12}&0\\a_{21}&0&a_{23}\\a_{31}&0&a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&0&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&0\end{vmatrix}$$

  可以定义$a_{ij}$的代数余子式：将原行列式的第$i$行与第$j$列抹去后得到的$n-1$阶行列式记为$C_{ij}$，$i+j$为偶时时取$+$，$i+j$为奇时取$-$。

再来完善式子$(2)$：将行列式$A$沿第一行展开：
$$\det A=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots+a_{1n}C_{1n}$$

到现在为止，我们了解了三种求行列式的方法：

1. 消元，$\det A$就是主元的乘积；

2. 使用$(2)$式展开，求$n!$项之积；

3. 使用代数余子式。

   计算例题： $A_4=\begin{vmatrix}1&1&0&0\\1&1&1&0\\0&1&1&1\\0&0&1&1\end{vmatrix}\stackrel{沿第一行展开}{=}\begin{vmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&1&1\end{vmatrix}=-1-0=-1$

感觉写不动了，粗略的整理了一下；后续再说吧，哎